Juego del hipercubo cuántico

Creado por Jesús Lacalle (UPM)

El hipercubo cuántico representa una puerta cuántica discreta de dos cúbits, es decir, una matriz 4x4 cuyas entradas son números complejos de la forma a+bi con a y b enteros. Pero en el hipercubo no se representan los enteros (partes reales e imaginarias) de los elmentos de la matriz, sino sus paridades, mediante un código de dos colores: par e impar. En la siguiente figura se puede ver el hipercubo correspondiente a una puerta cuántica discreta.

Objetivo del juego

El objetivo del juego es conseguir, mediante una serie de movimientos, que el hipercubo represente la matriz identidad. Para ello hay que ir bajando el nivel del hipercubo hasta cero, tal como se observa en la siguiente figura.

Estados cuánticos discretos

En computación cuántica, la unidad elemental de información es el cúbit. Al igual que un bit, en computación clásica, un cúbit puede estar en dos estados –que denotamos con |0 y |1– pero también puede estar en estados intermedios –por ejemplo, el estado 0,8|0 + 0,6|1–. Matemáticamente, se puede expresar cualquier cúbit con dos coordenadas, en el ejemplo anterior, (0,8, 0,6). Si tenemos un sistema de dos cúbits, el estado de cada uno de ellos se expresa con cuatro coordenadas. Los valores de cada una de estas coordenadas son números complejos, es decir, números de la forma a + bi, siendo a y b números reales e i la unidad compleja, definida como raíz cuadrada de -1.

Es posible considerar modelos de computación más sencillos, en los que las coordenadas de los estados cuánticos no pueden ser cualquier número complejo si no solo aquellos de la forma a + bi, con a y b números enteros, salvo un factor que depende de un número natural k. Estas coordenadas corresponden a los llamados estados discretos de nivel k. Si tenemos un sistema de dos cúbits en estado discreto, éste se escribirá (a+ib, c+id, e+if, g+ih), con a, b, c, d, e, f y g números enteros. Y su nivel es k si las coordenadas satisfacen la ecuación:

a² + b² + c² + d² + e² + f² + g² + h² = 2^k

Puertas cuánticas discretas

Podemos disponer las coordenadas de cuatro estados discretos de dos cúbits en una cuadrícula –una matriz– como en las figuras 1.a y 2.a anteriores. Cuando estos estados tienen el mismo nivel k y cumplen cierta propiedad –son ortogonales entre sí–, la matriz es una puerta cuántica –es decir, un circuito cuántico básico sobre un pequeño número de cúbits– discreta de nivel k. En la figura 1.a, cada fila y columna de la matriz se corresponde con las coordenadas de un estado discreto de dos cúbits de nivel 6, y, por tanto, la matriz es una puerta cuántica discreta de ese nivel.

Hipercubo cuántico

En general, el hipercubo cuántico representa una puerta cuántica discreta de un determinado nivel k. En el juevo del hipercubo cuántico el objetivo es bajar el nivel del hipercubo hasta el nivel cero, que corresponde a la matriz identidad (véase la figura 2.a) formada por ceros, excepto en los elementos de la diagonal principal, que tiene unos. Para ello, los movimientos permitidos son: permutar filas o columnas, intercambiar las partes real e imaginaria de una fila o columna, rotar dos filas o columnas y reducir el nivel.

Movimientos del hipercubo cuántico

Para ejecutar estos movimientos el hipercubo utiliza dos puertas cuánticas concretas llamadas H y G. En general, al aplicar H a un cúbit, éste aumenta en uno su nivel, pero, si cuando se aplica, las partes real e imaginaria de las dos coordenadas tienen las mismas paridades –es decir, que ambas son pares o ambas son impares– se reduce el nivel en uno. La puerta G intercambia las partes reales e imaginarias de ciertas coordenadas, pero deja invariante el nivel. Finalmente, la permutación y la rotación de filas o columnas son movimientos que resultan de combinaciones específicas de puertas G y H.

Entonces, para bajar el nivel del hipercubo hay que conseguir que las filas 1 y 2, por un lado, y 3 y 4, por otro, tengan la misma configuración de paridades y aplicar H. Por lo tanto, la información realmente importante es la paridad de las coordenadas. Por esta razón, en el hipercubo estas paridades se representan mediante un código de dos colores, tal como se observa en las figuras 1.b y 2.b. El movimiento reducción también puede realizarse, de manera análoga, por columnas.

Pero, ¡ojo!, si no se tiene cuidado con los movimientos escogidos se puede ampliar el nivel del hipercubo, en vez de reducirlo. Si el hipercubo no tiene la configuración de paridades indicada, al aplicar H se aumentará el nivel. Lo mismo ocurre con la rotación de filas o columnas, si la configuración no es adecuada aumenta el nivel del hipercubo mientras que, si ésta es adecuada, mantiene el nivel. Sin embargo, si jugamos siguiendo una estrategia adecuada, siempre podremos resolver este juego.

Que siempre se pueda resolver el hipercubo cuántico equivale a que cualquier puerta cuántica discreta de dos cúbits se puede construir utilizando exclusivamente las dos puertas cuánticas elementales H y G. Se conjetura que el resultado es cierto para cualquier número de cúbits, aunque esto todavía no se ha demostrado.

Lista de movimientos

Mover el hipercubo	Pinchar fuera del hipercubo y arrastar
Permutar dos filas	Pinchar una de las caras que separa las dos filas (hay 4 caras posibles). Se puden permutar las filas 1-2, 2-3 y 3-4.
Permutar dos columnas	Pinchar una de las caras que separa las dos columnas (hay 3 caras posibles). Se puden permutar las columnas 1-2, 2-3, 3-4 y 4-1.
Intercambio en una fila	Pinchar en una de las caras correspondiente a la parte real de un vértice de la fila (hay 4 caras posibles).
Intercambio en una columna	Pinchar en una de las caras correspondiente a la parte imaginaria de un vértice de la columna (hay 4 caras posibles).
Rotar dos filas	Hacer doble click en una de las caras que separa las dos filas (hay 4 caras posibles). Se puden rotar las filas 1-2, 2-3 y 3-4.
Rotar dos columnas	Hacer doble click en una de las caras que separa las dos columnas (hay 3 caras posibles). Se puden rotar las columnas 1-2, 2-3, 3-4 y 4-1.
Reducción por filas	Hacer doble click en una de las caras correspondiente a la parte real de un vértice (hay 16 caras posibles).
Reducción por columnas	Hacer doble click en una de las caras correspondiente a la parte imaginaria de un vértice (hay 16 caras posibles).

Detalles del movimiento reducción

Este movimiento se realiza aplicando H sobre la puerta cuántica discreta que representa el hipercubo. Si la aplicamos por la izquierda (derecha) actúa sobre las filas (columnas) del hipercubo. En la siguiente figura se ve el efecto que produce en las coordenadas de las filas 1 y 2, por un lado, y 3 y 4 por otro. Se muestra el efecto sobre un par de coordenadas dado que sobre el resto de pares es idéntico.

El factor 1/sqrt(2) de H aumenta el nivel en uno, pero si todas las coordenadas quedan pares se dividen por 2 y el nivel se reduce en 2, quedando como efecto global una redución del nivel en uno.

Detalles del movimiento rotación

Este movimiento se realiza aplicando R (combinación de dos puertas H y dos puertas G) sobre la puerta cuántica discreta que representa el hipercubo. Si la aplicamos por la izquierda (derecha) actúa sobre las filas (columnas) del hipercubo. En la siguiente figura se ve el efecto que produce en las coordenadas de las filas 1 y 2 (las filas 3 y 4 se quedan igual). Se muestra el efecto sobre un par de coordenadas dado que sobre el resto de pares es idéntico.

El factor 1/2 de R aumenta el nivel en dos, pero si todas las coordenadas quedan pares se dividen por 2 y el nivel se vuelve a reducir en 2, quedando la puerta cuántica discreta del hipercubo en el mismo nivel.